Синтез фильтра Калмана

Так как движение самолета подвержено случайным воздействиям, управление определяется на основе оценивания состояния системы. Решим задачу синтеза линейного алгоритма фильтрации, который формирует несмещенную оценку вектора состояния системы с минимальной дисперсией.

Движение системы в общем случае описывается векторным дифференциальным уравнением:

(2.61)

где w – вектор случайных помех, сопровождающих измерения.

Вектор измеряемых выходных координат этой системы, который доступен наблюдению и обработке, определяется соотношением:

(2.62)

где v – вектор случайных помех, сопровождающих измерения.

Предполагается, что система (2.61), (2.62) при w(t)º0 и v(t)º0 наблюдаема. Воздействие w(t) и v(t) будем считать гауссовскими случайными процессами типа белого шума с нулевыми математическими ожиданиями:

(2.63)

их ковариационные матрицы:

(2.64)

где d(t) – дельта-функция Дирака;

Q(t) – симметрическая неотрицательно-определенная матрица интенсивности белого шума w(t);

R(t) – симметрическая положительно-определенная матрица интенсивности белого шума v(t);

Предположим, что начальное состояние системы X(t0) – гауссовский случайный вектор с известным математическим ожиданием:

(2.65)

и ковариационной матрицей

(2.66)

Для этой матрицы при совпадающих значениях аргументов будем использовать обозначение:

(2.67)

Искомой является линейная несмещенная оценка вектора X(t), построенная на основе результатов наблюдений y(t), (t0 ≤ t ≤ t). Обозначим эту оценку через и допустим, что она может быть получена на выходе фильтра, описываемого векторным дифференциальным уравнением:

(2.68)

Ошибку оценивания

(2.69)

можно назвать ошибкой фильтра. Чтобы процесс на выходе фильтра был несмещенной оценкой, должно выполнятся равенство:

(2.70)

Вычисляя математическое ожидание обеих частей уравнения (2.68), получим:

(2.71)

но из (2.62) следует, что

(2.72)

На основании (2.70) – (2.72) получаем дифференциальное уравнение для среднего значения вектора состояния системы:

(2.73)

Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (2.61), получим еще одно уравнение для среднего значения вектора состояния:

(2.74)

Сравнивая уравнения (2.73) и (2.74), можно определить первое условие несмещенности оценки вектора состояния с помощью рассматриваемого фильтра:

(2.75)

Второе условие состоит в том, чтобы уравнения (2.73) и (2.74) решались при одном и том же начальном условии:

(2.76)

Если выполнить условия несмещенности (2.75) и (2.76), то уравнение фильтра (2.68) примет вид:

(2.77)

Определим матрицу коэффициентов усиления фильтра K(t), которая должна обеспечивать оптимальную оценку в том смысле, что составляющие ошибки оценивания (2.69) должны иметь минимальную дисперсию:

Другое по теме:

Диагностические платформы
Современный подход к оснащению участка диагностики — построение интегрированного технологического комплекса на основе общей платформы. Под диагностической платформой понимается набор основных приборов, который может расширяться и дополнят ...

Техническое обслуживание кабельных сетей
Проверить отсутствие трещин, выбоин. Сколов на корпусе и крышке, осмотреть крепление муфт и отсутствие их просадки в грунт, наличие маркировки, состояние железобетонных оснований и защищённость кабелей от механических повреждений, правиль ...

Багажные помещения
Багажные помещения, как правило, размещают в герметической части фюзеляжа под полом кабины или в нижнем этаже. При диаметрах фюзеляжа Dф<2800 мм разместить багажники под полом трудно и тогда их располагают на одном уровне с полом кабин ...