Так как движение самолета подвержено случайным воздействиям, управление определяется на основе оценивания состояния системы. Решим задачу синтеза линейного алгоритма фильтрации, который формирует несмещенную оценку вектора состояния системы с минимальной дисперсией.
Движение системы в общем случае описывается векторным дифференциальным уравнением:
(2.61)
где w – вектор случайных помех, сопровождающих измерения.
Вектор измеряемых выходных координат этой системы, который доступен наблюдению и обработке, определяется соотношением:
(2.62)
где v – вектор случайных помех, сопровождающих измерения.
Предполагается, что система (2.61), (2.62) при w(t)º0 и v(t)º0 наблюдаема. Воздействие w(t) и v(t) будем считать гауссовскими случайными процессами типа белого шума с нулевыми математическими ожиданиями:
(2.63)
их ковариационные матрицы:
(2.64)
где d(t) – дельта-функция Дирака;
Q(t) – симметрическая неотрицательно-определенная матрица интенсивности белого шума w(t);
R(t) – симметрическая положительно-определенная матрица интенсивности белого шума v(t);
Предположим, что начальное состояние системы X(t0) – гауссовский случайный вектор с известным математическим ожиданием:
(2.65)
и ковариационной матрицей
(2.66)
Для этой матрицы при совпадающих значениях аргументов будем использовать обозначение:
(2.67)
Искомой является линейная несмещенная оценка вектора X(t), построенная на основе результатов наблюдений y(t), (t0 ≤ t ≤ t). Обозначим эту оценку через и допустим, что она может быть получена на выходе фильтра, описываемого векторным дифференциальным уравнением:
(2.68)
Ошибку оценивания
(2.69)
можно назвать ошибкой фильтра. Чтобы процесс на выходе фильтра был несмещенной оценкой, должно выполнятся равенство:
(2.70)
Вычисляя математическое ожидание обеих частей уравнения (2.68), получим:
(2.71)
но из (2.62) следует, что
(2.72)
На основании (2.70) – (2.72) получаем дифференциальное уравнение для среднего значения вектора состояния системы:
(2.73)
Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (2.61), получим еще одно уравнение для среднего значения вектора состояния:
(2.74)
Сравнивая уравнения (2.73) и (2.74), можно определить первое условие несмещенности оценки вектора состояния с помощью рассматриваемого фильтра:
(2.75)
Второе условие состоит в том, чтобы уравнения (2.73) и (2.74) решались при одном и том же начальном условии:
(2.76)
Если выполнить условия несмещенности (2.75) и (2.76), то уравнение фильтра (2.68) примет вид:
(2.77)
Определим матрицу коэффициентов усиления фильтра K(t), которая должна обеспечивать оптимальную оценку в том смысле, что составляющие ошибки оценивания (2.69) должны иметь минимальную дисперсию:
Другое по теме:
Нечетная сортировочная горка
Между парком прибытия и сортировочным парком расположена сортировочная горка, с двумя путями надвига, двумя горбами, двумя объездными путями. Горка большой мощности имеет 7 – ми элементный продольный профиль. Расположение стрелок, уложенн ...
Горизонтальный анализ баланса Пушкинского автобусного парка
Валюта баланса Пушкинского автобусного парка на конец 2002 года составила 114 731 тыс. руб. и увеличилась по отношению к концу 2000 рода на 67%. Увеличение валюты баланса в целом является положительным показателем. Однако делать вывод об ...
Вагонное хозяйство как объект и субъект управления
Системой это совокупность взаимодействующих элементов, составляющих целостное образование, имеющее свойства, отсутствующие у ее элементов. Системы имеют самые разнообразные формы, которые удобно разделить на три вида: технические, биологи ...